มีคลิปสอนประกอบ

ตัวผกผัน ของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ : arcsin arccos arctan (ม.5)


อ่าน 88,364 ครั้ง

อยากดูแบบวิดีโอ? (พาร์ท 1)

นโยบายความเป็นส่วนตัว

พาร์ท 2

พาร์ท 3

พาร์ท 4

เกริ่นนำ : อะไรคือฟังก์ชันผกผัน

หากน้องจำกันได้ ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) ก็คือ สลับตัว X (สิ่งนำเข้า) และ Y (ผลลัพธ์) นั่นเอง หากใครลืมเรื่องฟังก์ชันผกผันสามารถกลับไปทวนกันก่อนได้ในเรื่องฟังก์ชันนะครับ ถ้าให้ Recap กันแบบเร็ว ๆ ก็คือหากเราวาดกราฟ เราจะพลิกกราฟ นำแกน X เป็น Y และแกน Y เป็น X

ดังนั้น ในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ก็ไม่มีอะไรแตกต่างครับน้อง หากพี่ยกตัวอย่าง y=sinx เรารู้กันทันทีว่า ฟังก์ชันนี้ รับ มุม x เข้ามา และคืนค่ากลับ เป็นค่า sin ของมุมนั้น ๆ เช่นหากน้องเป็นฟังก์ชัน sin(x) และพี่ ให้ค่า x น้องเป็น 30 น้องก็ต้องตอบพี่ว่า 12 ประมาณนี้

ดังนั้น ฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติก็จะแตกต่างกันแค่ สลับค่าที่ให้กับค่าที่ตอบ ตอนแรก น้องได้มุมและตอบค่าฟังก์ชัน แต่ในฟังก์ชันผกผัน น้องจะได้ค่าและต้องหาว่ามุมอะไร

ฟังก์ชัน arcsin (ผกผันตรีโกณมิติ)

ยกตัวอย่างเพื่อความง่าย หากพี่ถามน้องว่า sin อะไรได้ 12 น้องก็จะตอบพี่ว่า 30 ดังนั้น arcsin(12)=30 สังเกตที่พี่ใส่คำว่า arc เข้าไปด้านหน้า นี่แหละครับฟังก์ชันผกผันของ sin ซึ่งสิ่งที่ฟังก์ชันได้ไม่ใช่มุมแต่เป็นค่า และฟังก์ชันนี้ต้องตอบว่า มุมอะไรนะ ที่ทำให้ sin มีค่าเป็น 12

แต่ก็มีหลายมุมที่ให้ค่าเท่ากัน...

หากน้องจำได้ sin ที่ให้ค่า 12 ไม่ได้มีค่าเดียว ใช่ครับ เช่น sin150 หรือ sin390 ก็ล้วนแล้วแต่เป็น 12 ทั้งคู่ ดังนั้นแปลว่า arcsin(12)=30 หรือ 150 หรือ 390 อะไรก็ได้หรอ?

คำตอบ คือ ไม่ได้ครับน้อง เพราะหาก arcsin สามารถให้คำตอบได้หลายค่า เราจะไม่เรียกมันว่าฟังก์ชัน การให้คำตอบหลายค่าก็เหมือนกับ ให้ x หนึ่งตัว แต่ค่า y ออกมาหลายตัว หรือที่เราเรียกว่า ความสัมพันธ์แบบ one-to-many นั่นเอง ซึ่งจากเรื่องฟังก์ชัน เราเรียนกันมาแล้วว่า one-to-many ไม่เป็นฟังก์ชัน ดังนั้น หากฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติ (arc-) สามารถคืนค่ามุมคำตอบได้หลายค่า มันจะไม่เป็นฟังก์ชัน แล้วเราจะแก้ปัญหานี้ยังไงหล่ะ?


กำหนดเรนจ์ของฟังก์ชัน (ช่วงมุมคำตอบที่ตอบได้)

ฟังก์ชัน arcsin (ผกผันตรีโกณมิติ) การเช็คว่าเป็นฟังก์ชัน โดยลากเส้นตรงขนานแกน Y ตั้งฉากแกน X

หากยังจำกันได้การเช็คว่ากราฟเป็นฟังก์ชันหรือไม่ คือการ ลากเส้นตรงตั้งฉากกับแกน X หากมีเส้นที่ลากโดนกราฟมากกว่า 1 ที กราฟนั้นไม่เป็นฟังก์ชัน มองง่าย ๆ (ตามภาพด้านบน) คือ การที่ลากเส้นแล้วตัดมากกว่า 1 จุดแปลว่า ที่ X หนึ่งตัว (input) กราฟมีค่า Y (output) มากกว่าหนึ่ง ก็ที่เราเรียกกันง่าย ๆ ว่า one-to-many นั่นแหละครับน้อง ๆ

ดังนั้นเห็นได้ชัดเลยว่า ฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติ (ในกรณีนี้คือ arcsin) ว่ามันไม่เป็นฟังก์ชัน ดังนั้น เลยเป็นที่มาที่เราจะกำหนดเรนจ์ (ค่า Y) เพื่อให้ arcsin เป็นฟังก์ชัน ดังรูปด้านล่างเลย

กำหนดเรนจ์ของฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติ

เราจะตัดเอาแค่ส่วนคำตอบ มุม π2 ถึง π2 หากน้องสังเกตช่วงนี้ดี ๆ ตามภาพด้านบน จะเห็นว่า ไม่มีส่วนไหนที่เราลากเส้นตั้งฉากแกน X แล้วตัดกราฟเกิน 1 จุด


arcsin arccos arctan

สรุปง่าย ๆ คือ y=arcsinx โดยเรนจ์คือ [π2,π2]

ต่อมาเรามาดู arccos จะคล้าย ๆ กัน หากน้องวาดกราฟเราจะได้ดังรูปด้านล้างซึ่งสังเกตได้ว่าหากเรากำหนดช่วงเรนจ์ที่สนใจแค่ [0,π]

arccos (ผกผันตรีโกณมิติ arccos)

ส่วน arctan ก็คล้าย ๆ กัน หากวาดกราฟพลิกแกนแล้วน้องก็จะได้ประมาณนี้ ซึ่งเรนจ์เราก็ตัดมาแค่ช่วง (π2,π2) บางคนอาจสงสัยว่า ทำไมเป็น ช่วงเปิด เครื่องหมาย '(' และ ')' มันหมายความว่า arctan ไม่มีทางให้ค่ามุม π2 หรือ π2 เพราะว่า? ใช่แล้วครับ เพราะ tanπ2 กับ tan(π2) หาค่าไม่ได้นั่นเอง ดังนั้น มุมสองตัวนี้เลยไม่มีทางเป็นไปได้

อ๊ะ! ดูเหมือนกับว่าน้อง ๆ ได้อ่านเนื้อหากันมาส่วนหนึ่งแล้ว

เพื่อดำเนินการปลดล็อคเนื้อหาทั้งหมด และ ซับพอร์ตชุนชมแบ่งปันความรู้ของเรา น้อง ๆ สามารถ สมัครสมาชิกและเข้าสู่ระบบ เพื่อปลดล็อคอ่านเนื้อหาทั้งหมด ฟรี!

เข้าสู่ระบบแบบทั่วไป
arctan (ผกผันตรีโกณมิติ arctan)

พี่อาจจะไม่ได้ลงลึกเรื่องกราฟมากนะครับ เนื่องจาก รายละเอียดพวกกราฟไม่ได้เป็นจุดสำคัญขนาดที่ต้องเอาไปใช้สอบ แต่พี่แปะไว้ให้น้องได้รู้ว่า เรนจ์ของฟังก์ชัน arc- เนี่ยมันมีที่มายังไงบ้าง) ดังนั้นสิ่งที่น้องต้องจำให้ได้มีแค่เรนจ์ของ arcsin,arccos,arctan แค่นั้นเองในการทำโจทย์ เดี๋ยวมีตัวอย่างโจทย์เพื่อความเข้าใจต่อด้านล่าง

y=arcsinx โดยเรนจ์คือ [π2,π2]

y=arccosx โดยเรนจ์คือ [0,π]

y=arctanx โดยเรนจ์คือ (π2,π2)


ตัวอย่างการค่าหา arc- function

จงหาค่าของ arcsin(12)

ในข้อนี้ถ้าน้องตอบได้เลย ถือว่าน้องเข้าใจคอนเซปต์ไปแล้ว ซึ่งยินดีด้วยครับ เพราะเรื่อง arc- เป็นเรื่องที่หลาย ๆ คน มักสับสนว่า มันต้องตอบมุมไหนกันแน่เนี่ยพี่

เรารู้ว่าโจทย์ถาม sin มุมอะไรที่ให้ค่าเป็น 12 ดังนั้นน้องก็ลองนึกภาพวงกลม 1 หน่วยคร่าว ๆ เรารู้ว่า cos x sin y ดังนั้นค่า sin คือ y=12 เราก็ลากแกนเส้นตรง y=12 ได้เลย ได้ดังรูปด้านล่าง

การหาค่า arcsin

น้องจะสังเกตว่าตรง y=12 ตัดวงกลม 2 จุดด้วยกันซึ่งนั่นแปลว่า สองจุดนี้แหละที่ค่า sin เป็น 12 แต่ฝั่งซ้ายที่พี่ผิดไปเนื่องจากมันเลย เรนจ์ของ arcsin ไปแล้ว

วิธีทำแบบเข้าใจหลักการง่าย ๆ คือ น้องต้องตอบจุดฟ้าฝั่งขวา (อันที่ไม่ได้โดนปิด) บางคนถามพี่ต่อว่า มุมนั้นคือ 330 ปะครับ ถูกครับน้อง แต่... เราตอบ 330 ไม่ได้ เพราะมันเลยช่วงเรนจ์ arcsin ไปแล้ว เนื่องจากเรนจ์ arcsin มีค่าแค่ [90,90] แค่นั้น ดังนั้นน้องต้องกวาดมุมลงมาทางลบ ครับ จะได้ว่ามุมนั้นคือ 30

เคล็ดลับหาค่า arc-

ทริคที่แนะนำคือตรงที่ปิดไป เราจะไม่กวาดมุมผ่าน ให้น้องนึกถึงกำแพง เราไม่สามารถกวาดมุมผ่านมันได้ ซึ่งหากน้องต้องการ ตอบว่า 330 น้องต้องกวาดผ่านกำแพง ดังนั้นไม่ได้เนอะ

การหาค่า arcsin

ดังนั้นข้อนี้จึงตอบ arcsin(12)=π6

จงหาค่าของ arcsin(32)

เฉลย

จงหาค่าของ arccos(12)

เฉลย

ตัวอย่างเพิ่มเติม และหลักการหาค่า arc- ของมุมติดลบ โดยไม่ต้องนึกถึงวงกลมหนึ่งหน่วยตลอดเวลา น้อง ๆ สามารถดูเพิ่มเติมได้ที่คลิปสอนด้านบนนะครับ


รวมร่าง arc กับ ไม่-arc (ฟังก์ชันเดียวกัน)

ฟังก์ชันเดียวกัน เช่น sin(arcsinx) หรือ cos(arccosx)

แบบที่ 1 (arc- ข้างใน) เช่น sin(arcsin) ถ้าสองฟังก์ชันมาประกบกันแบบนี้ ยกตัวอย่าง sin(arcsin(12)) เนื่องจาก sin กับ arcsin เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ดังนั้น น้องสามารถตัดมันทิ้งได้เลย sin(arcsin(12)) ก็เลยตอบ 12

แบบที่ 2 (arc- ข้างนอก) ** ต้องระวัง ถามว่าตัดเลยได้มั้ย ตอบได้ว่าหลักการตัดเหมือนกัน แต่น้องต้องระวังนิดนึง ดูตัวอย่างเพื่อให้เห็นภาพมากขึ้น เช่นพี่มี arcsin(sin(5π6)) ถ้าน้องตัดเลยแบบนี้ arcsin(sin(5π6)) จะตอบ 5π6 ซึ่งผิด เพราะว่า arcsin มีเรนจ์แค่ [90,90] เอง จะคืนค่าเป็น 5π6 หรือ 150 ไม่ได้

เพราะฉะนั้นแล้วเราต้องหาตัวแทนมุมที่ตอบได้ ที่มีค่าเท่ากับค่าจากมุม 150 หากเราสังเกตจากรูปด้านล่างแล้ว น้องจะพอมองออกว่า cos x sin y ดังนั้น sin คือค่า y ซึ่งมุมใน Q2 (จตุภาคที่ 2) สามารถสะท้อนมาตอบเป็นมุมใน Q1 ได้ ส่วน Q3 ก็ตอบของ Q4 ได้

การหาค่า arcsin

ดังนั้นหากเรากลับมาดูที่โจทย์ตั้งต้น arcsin(sin(5π6)) เราก็ตัดปกติ arcsin(sin(5π6)) แต่เราจะสะท้อนมุม 5π6 ไปตอบ π6 แทนนั่นเอง

ดังนั้น arcsin(sin(5π6))=π6

จงหาค่าของ arcsin(sin(7π6))

เฉลย

แล้ว arccos เหมือนกันหรือเปล่า? ก็มีความคล้ายคลึงครับน้อง ๆ แต่ arccos เนี่ย มันมีเรนจ์อยู่ช่วง [0,180] ซึ่ง cos คือ x ดังนั้น หากคำตอบเราอยู่ใน Q3 หรือ Q4 เราก็แค่ตบมันกลับมาตอบที่ Q2 หรือ Q1 ตามภาพด้านล่างง่าย ๆ แบบนี้เลย เพราะค่า x มันมีค่าแทนกันนั่นเอง

การหาค่า arccos

ส่วน arctan หากน้อง ๆ จำได้มันมีเรนจ์เหมือน arcsin ยกเว้นช่วงมุม ±π2 ที่ไม่ใช่ ดังนั้น น้องก็ทำแบบเดิมปิดช่วงที่ไม่ได้เป็นกำแพงกั้นไว้ หากมุมที่น้องได้อยู่ในช่วงที่ตอบไม่ได้ เราก็ต้องเลื่อนมันไป ประเด็นคือเลื่อนไปตอบตรงไหน

ทำไม arctan ถึงทำเหมือน arcsin กับ arccos ไม่ได้

การที่ arcsin สามารถเลื่อนขวาไปตอบได้นั้น เพราะว่า sin คือค่า y และการเลื่อนขวา ค่า y ไม่ได้เปลี่ยน ส่วน arccos สามารถเคลื่อนบนไปตอบได้นั้น เพราะว่า cos คือค่า x และการเลื่อนบนค่า x ก็ไม่ได้เปลี่ยนอีกเช่นกัน ส่วน arctan ค่า tan คือ sincos ดังนั้น มันคือ yx เลื่อนไปยังไงให้ค่าไม่เปลี่ยนดีหล่ะ?

(หากอ่านแล้วยังงง สามารถดูที่คลิปประกอบได้เพิ่มเติมนะครับ) หากน้องพิจารณารูปด้านล่าง น้องจะสังเกตว่าจุดตรง Q2 หากเราเลื่อนไปตอบตรง Q1 ค่า x มันจะกลับเครื่องหมายแค่ตัวเดียว y ไม่กลับ ดังนั้น มันจะเปลี่ยนเครื่องหมายแค่ตัวล่าง ใน yx ของ tan ทำให้ค่าผิด

แต่หากสังเกตดี ๆ ถ้าเรากลับเครื่องหมาย ทั้งสองตัว ผลลัพธ์ก็จะเป็นตัวเดิม ตัวอย่างเช่น 58=58 หรือ 29=29 ดังนั้น หากการกลับสองเครื่องหมายจะทำให้ค่าไม่เปลี่ยน เราจึงต้องเลื่อนทแยง จาก Q2 ตอบ Q4 และก็จาก Q3 ตอบ Q1

การหาค่า arctan

จงหาค่าของ arctan(tan(7π6))

เฉลย

หากน้อง ๆ สงสัยว่าตอนเลื่อนไปหามุมที่ตอบจะรู้ได้ไงว่ามุมไหน ลองมองมุมแกน X เพื่อนบ้าน กันดูนะครับ มันจะสมมาตรกันทั้งหมดทั้ง 4 จตุภาค

มุมแกน X เพื่อนบ้าน

รวมร่าง arc กับ ไม่-arc (ฟังก์ชันคนละตัว)

ฟังก์ชันไม่เหมือนกัน เช่น sin(arccosx) หรือ tan(arcsinx)

ถ้าเป็นแบบนี้ก็เหมือนเป็นคนละหมู่บ้าน เราก็ต้องค่อย ๆ คิดตรง ๆ ไปเลย (มันจะมีโจทย์ที่คิดตรง ๆ ไม่ได้ ซึ่งจะกล่าวต่อไปหลังจากส่วนนี้) สมมติโจทย์ถามว่า tan(arcsin(32)) โจทย์แบบนี้ มีวิธีทำสองวิธี วิธีแรกคือค่อย ๆ คิด หากเป็นมุมที่เรารู้ค่า ถ้าน้องสังเกตต้องทำจากในวงเล็บก่อน นั่นก็คือ arcsin(32) ก็คือโจทย์ถามว่า sin มุมอะไรนะที่มีค่า 32 ซึ่งอันนี้เรารู้ เราจึงตอบได้ว่าคือ 60

ดังนั้น tan(arcsin(32))=tan(60) ซึ่งก็จะตอบว่า 3 นั่นเอง

จงหาค่าของ cos(arcsin(12))

เฉลย

แล้วหากเราเจออันที่หาค่าไม่ได้หล่ะพี่ เช่น sin(arctan(45)) เนื่องจากเราไม่สามารถหา arctan(45) ได้ เพราะไม่มีมุมมาตรฐานที่เราเรียนที่ให้ค่า tan เป็น 45 ดังนั้น ต้องใช้ตัวช่วยครับ

ตัวช่วยเราก็คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อนแสนดีของเรานี่เอง

หลักการก็คือเราจะแทน arc เป็นมุมและวาดสามเหลี่ยม

จากโจทย์ sin(arctan(45)) เราก็คิดจากข้างในเช่นเคย arctan(45) ก็เหมือนการถามน้องว่า tan มุมอะไร มีค่า 45 ซึ่งเราก็สามารถสมมติเป็นมุม A และกัน

เราก็จะบอกว่า tan(A)=45 เนื่องจากเครื่องหมายลบ ไม่สามารถใช้ได้กับสามเหลี่ยม (ด้านสามเหลี่ยมเป็นบวกเสมอ) ให้น้องทดเครื่องหมายไว้ในใจก่อน

เราจะวาดสามเหลี่ยมได้ตามภาพด้านบน ซึ่งน้องก็ใช้พีทาโกรัสในการหาด้านที่เหลือได้

วาดสามเหลี่ยมมุมฉาก ผกผันตรีโกณมุมมิติ

เนื่องจากเราแทนว่าเป็นมุม A ดังนั้น sin(arctan(45))=sin(A) (เครื่องหมายคิดหลังสุด) ตามสามเหลี่ยมมุมฉากที่เราวาด เราก็ได้ว่า sin คือ ข้าม/ฉาก ดังนั้นเลยได้ sin(A)=441

ดังนั้น ข้อนี้ก็เหมือนตอบว่า คือ 441 แต่ อย่าลืมเครื่องหมายที่ทดไว้ การที่ tan จะเป็น 45 ก็ต้องอยู่ในจตุภาคที่ 4 (เรนจ์ arctan คือ Q1 กับ Q4) ดังนั้น Q4 ค่า sin ต้องเป็น ลบ

คำตอบข้อนี้จึงตอบว่า sin(arctan(45))=441

เรื่องนี้เป็นเรื่องที่ไม่ซับซ้อน แต่พี่แนะนำให้น้องดูวิดีโออีกทีบนหน้านี้ เนื่องจากพี่จะเพิ่มเติมโจทย์ตัวอย่างให้ และก็การอธิบาย ด้วยภาพและเสียงน้องน่าจะเข้าใจได้ง่ายมากขึ้น

หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')