พื้นฐาน และคุณสมบัติของเซต ม.4

เซต คือ

เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆ โดยที่สิ่งข้างในนั้นเรียกว่า สมาชิก (element) ฉะนั้นเราต้องมีสัญลักษณ์ที่บ่งบอกความเป็นสมาชิก (\(\in\)) หรือไม่เป็นสมาชิก (\(\notin\)).

สมมติว่าเรากำลังพูดถึงเซตของจำนวนเต็มบวก พี่ขอเรียกเซตนี้ว่าเซต \(A\) ละกัน (ส่วนมากชื่อเซตน้องมักจะเห็น เค้าแทนเป็น ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ กันนะ) เราก็รู้กันได้เลยว่า เซต \(A\) คือ เซตที่จะประกอบไปด้วยเลข \(1, 2, \dots\) ใช่ม้ะ แต่เลขอย่างทศนิยมแบบ \(3.54\) เนี่ยก็จะไม่อยู่ในเซตนี้ เพราะนี่มันเซตของจำนวนเต็ม ดังนั้น เราก็เขียนได้ว่า \(1 \in A\) แต่ \(3.54 \notin A\)

เราอาจจะสังเกตว่าการเขียนเซตนั้นมีรูปแบบคือ มี “วงเล็บปีกกา” ครอบคลุมสมาชิก ที่อยู่ในเซต ใช่แล้วครับน้องๆ เราใช้สัญลักษณ์ \(\{\) \(\}\) ในการแทนเซตของสิ่งต่างๆ

จากตัวอย่างทางด้านบน น้องๆ อาจจะเห็นได้ว่าพี่เขียน สัญลักษณ์ \(\dots\) (จุดสามจุด) เข้าไปในเซตของพยัญชนะไทยด้วย นั่นก็คือการ ละเว้นเนื่องในฐานที่เข้าใจ กันอยู่แล้วว่าตัวต่อจาก ก. ไก่ และ ข. ไข่ คืออะไรนั่นเอง แต่หากเราต้องการเขียนเซตที่สมาชิกมีจำนวนมากๆ แล้วถ้ามันไม่มีความสัมพันธ์กัน ที่เราจะละเว้นได้หละ? เราต้องทำยังไง ไปดูกันเลย

วิธีการเขียนเซต (แบ่งออกเป็น 2 ประเภท)

เซตแบบแจกแจงที่มีทุกคนที่เห็นบทความนี้

แบบที่ 1 การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก คือการที่เราเขียนแจกแจงสมาชิกออกมาให้เห็น ทีละตัวทุกตัว โดยใช้ เครื่องหมายจุลภาค \((,)\) คั่นระหว่างแต่ละสมาชิก เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 เราก็จะเขียนได้ดังนี้ \(\{1, 2, 3, 4\}\) 

แบบที่ 2 การเขียนแบบบอกเงื่อนไข คือการเขียนเซตโดยใช้ตัวแปร และบอกเงื่อนไขว่าต้องเป็นอย่างไรถึงจะเป็น สมาชิกในเซตนี้ เช่น \(\{x\;|\;x\) เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 \(\}\) แปลความได้ว่า เซตที่มีสมาชิกเป็น \(x\) โดยที่ \(x\) เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 ซึ่งเซตนี้ก็คือเซตเดียวกันกับเซตในแบบที่ 1 แต่เขียนออกมาคนละแบบนั่นเอง

เห็นม้ะ ไม่ยากเนอะน้องๆ มีแค่สองแบบเอง เดี๋ยวพอน้องเรียนไปทำข้อสอบอนาคตนะ มันจะมีแต่แบบสองแหละ เพราะโจทย์เค้าคงไม่บอกมาหรอกว่า เซตนี้มีตัวอะไรบ้าง ดังนั้น หน้าที่ของเราคือ ดูเงื่อนไขเซตให้ออก และต้องวิเคราะห์ให้ได้ว่า มีสมาชิกอะไรในเซตบ้าง

เซตจำกัด กับ เซตอนันต์  

เรามาพูดถึงจำนวนสมาชิกในเซตกันบ้างดีกว่า อย่างเซตที่เรายกตัวอย่างมา {1, 2, 3, 4} น้องๆสังเกตไหมครับว่าเซตนี้ มีสมาชิกแค่ 4 ตัว ซึ่งมันคือเซตจำกัด (finite set) ก็คือมีจำนวนสมาชิกจำกัด เรานับได้ (เซตจำกัด คือ เรานับสมาชิกได้)

ส่วนถ้าอีกแบบ แบบที่มีจำนวนมหาศาลนับไม่ถ้วน เราจะเรียกมันว่า เซต อนันต์ (infinite set) ตัวอย่างก็เช่น เซตของจำนวนนับ เรารู้กันอยู่แล้วว่าจำนวนนับนั้นเริ่มที่ 1, 2, 3 และต่อไปเรื่อยๆ แล้วจุดจบคือที่ไหน? “ไม่มีที่สิ้นสุด” นั่นเอง หรือที่เราเรียกกันว่า “นับได้ไม่ถ้วน” (เซตอนันต์ คือ สมาชิกนับไม่ถ้วน)

ข้อควรระวัง! หากน้องเจอ เครื่องหมาย ... (การละเว้นในฐานที่เข้าใจตรงกัน) สามารถเจอได้ในทั้งกรณี เซตจำกัด กับ เซตอนันต์ เช่น {1, 2, 3, ..., 10} เราละเว้นแต่มันยังมีจุดจบที่เลข 10 ดังนั้นก็ยังมีจำนวนสมาชิกจำกัด 10 ตัว คือ 1 - 10 แต่ถ้าเจอ {1, 2, 3, ...} แบบนี้คือไปเรื่อยๆ ไม่มีวันจบสิ้น = เซตอนันต์ นั่นเอง

เอกภพสัมพัทธ์ (Universe) = \(\mathbb{U}\)

นึกถึงกล่องเลยน้องๆ มันคือ ขอบเขตที่เราสนใจนั่นเอง ในกล่องคือเราสนใจ นอกกล่องคือไม่สนใจ

สมมุติถ้าเราพูดถึง \(\mathbb{N}\) (เซตจำนวนนับ) ซึ่งก็คือ \(\{1, 2, 3, \dots\}\) จากที่ได้กล่าวไปแล้วตอนเริ่มบทว่า \(1\in\mathbb{N}\) แต่ \(3.54\notin\mathbb{N}\) แต่เราก็สามารถบอกได้อีกว่า “กรุงเทพฯ” ก็ไม่ได้อยู่ในเซตของ \(\mathbb{N}\) (กรุงเทพฯ \(\notin\) \(\mathbb{N}\)) ซึ่งมันก็ฟังดูแปลกๆ ใช่ปะ เพราะว่า เราพูดถึงจำนวนหรือตัวเลขกันอยู่

ดังนั้น เราก็เลยต้องมี ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ อย่างเช่นในที่นี้เราก็อาจจะบอกได้ ว่าเราสนใจแค่ตัวเลขจำนวนเต็มหรือทศนิยมนะหรือพูดได้ อีกอย่างว่าเจ้า \(\mathbb{U}\) หรือเอกภพสัมพัทธ์เราเนี่ย คือ \(\mathbb{R}\) (จำนวนจริง) เมื่อ เราบอกเช่นนี้แล้ว เราก็จะไม่สนใจ “กรุงเทพฯ” อีกต่อไป

ตัวอย่างเพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น กำหนดให้ \(A = \{x\;|\;x^2 = 4\}\) น้องๆก็อาจจะตอบได้เลยว่า \(A\) คือ \(\{-2, 2\}\) แต่หากพี่ กำหนดให้ \(\mathbb{U}\) ของเราเป็น \(\mathbb{N}\) เราก็จะถือว่าจำนวนลบเราจะไม่เก็บมาคิด ดังนั้น \(A = \{2\}\) แทนนั่นเองครับ เพราะ \(\mathbb{N}\) หมายถึงเรา สนใจขอบเขตแค่จำนวนบวก นั่นเอง

การเขียนเอกภพสัมพัทธ์เราจะเขียนแทรกไปก่อน เครื่องหมาย โดยที่ เช่น \(\{x\textcolor{blue}{\in\mathbb{Z}}\;|\;x^2=5\}\)

คุณสมบัติแบบพื้นฐานของเซตที่ต้องรู้

คุณสมบัติของเซตมีอยู่ว่า

(1) ข้อแรก ลำดับไม่สน นึกซะว่า เซตเป็นถุงใส่ของ และกันน้อง น้องใส่เลข \(1, 2, 3\) เข้าไปข้างในถุง แล้วเขย่า ๆๆๆ คือถุงนี้ก็ยังเป็น เซตที่มี \(1, 2, 3\) เป็นสมาชิก แต่ลำดับมันมั่วไปมั่วมาเพราะเราเขย่ามัน ประมาณนั้นเลย เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้น \(B = \{1, 2, 3\}\) กับ \(C= \{3, 1, 2\}\) มันก็คือเซตเดียวกันนั่นเอง เพราะมันประกอบไปด้วยเลข \(1,2,3\) (ลำดับที่เราเห็นเราไม่สนว่าอันไหนเขียนก่อนเขียนหลัง)

(2) อีกข้อคือ ไม่นับตัวซ้ำ สมมติพี่กำหนดให้เซต \(A = \{1, 1, 2, 2, 2, 3\}\) เราเห็นกันใช่ ไหมว่าตัวเลข \(1\) ซ้ำสองครั้ง และก็ตัวเลข \(2\) ซ้ำสามครั้ง เราจะไม่สนใจมัน และจะเขียนใหม่ให้ เหลือแค่ตัวเดียว เราก็จะ ได้เป็น \(A = \{1, 2, 3\}\) ลองกลับไปดูข้างบน จะเห็นว่า \(A=B=C\)

เซตที่เท่ากันคืออะไร พี่ขอเสริมนิด เรื่อง ความเท่ากันของเซต เราจะบอกว่า เซตสองเซตมันเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว ไม่เกินไม่ขาด ลองดูตัวอย่างโจทย์ด้านล่างเพื่อความเข้าใจที่มากขึ้น