เลือกอ่านตามหัวข้อ?
เข้าหาบทความพี่ง่ายๆ จาก Google
วงกลม 1 หน่วย มีความสำคัญอย่างไร ในตรีโกณมิติ ม.5
หากน้องๆ ยังจำกันได้ในเรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ที่เรียนกันไปกันแบบง่ายๆ บทตรีโกณมิติ ม.5 นี้ก็คือ ร่างใหม่ที่เพิ่มเติมไปด้วยความยากและหิน จนบทนี้ได้ถูกขนานนามกันว่า เป็นบทเรียนคณิตม.ปลายเรื่องที่ยากที่สุดเรื่องหนึ่งเลยก็ว่าได้ แต่...อย่าพึ่งท้อถอยครับน้อง เพราะ เจ้าวงกลมหนึ่งหน่วย เนี่ย พี่ขอให้มันเป็นพระเอกของบทนี้เลย เพราะ หากน้องรู้คอนเซปต์ของวงกลมหนึ่งหน่วย น้องจะหามุมต่างๆ ของตรีโกณได้ด้วยความเข้าใจ และไม่ต้องท่องจำสูตรร้อยแปดพันเก้า
![วงกลม 1 หน่วย](/images/content/tri000.png)
จากภาพด้านบน นี่คือวงกลมครับน้อง ที่มี รัศมี 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ \((0,0)\) ให้เราสังเกตที่เส้นสีฟ้าที่พี่ลากอยู่ในวงกลม เมื่อเราทำการลาก จุดในวงกลมไม่ว่าจะตำแหน่งไหนก็ตาม สิ่งที่เราจะได้คือ
- มุมนับจากเส้นแกน X เรียกว่ามุม \(\theta\) (อ่านว่าเซต้า)
- จุดฟ้า ที่อยู่บนวงกลมพอดี ตำแหน่ง \((x,y)\)
อย่างที่น้องเดากันแหละครับ สามตัวนี้ \(\theta\), \(x\), \(y\) จะมีส่วนเชื่อมกับ ''ตรีโกณมิติ ม.5'' ที่เราจะเรียนกันต่อไป แต่ก่อนเข้าสู่ตรีโกณอย่างจริงจัง เราต้องรู้จักกับ มุม \((\theta)\) กันให้มากกว่านี้ก่อน
มุมในวงกลมตรีโกณ
![ตัวอย่างมุม ใน วงกลมตรีโกณ แบบต่างๆ](/images/content/tri001.png)
ตัวอย่างมุมในหลายๆแบบ
สำหรับ ค่ามุม ที่เราวัดได้ น้องสามารถใช้ได้ 2 หน่วยวัด
- องศา เช่น \(30^\circ,\,90^\circ,\,120^\circ,\dots\)
- เรเดียน
สำหรับ (1) องศา พี่เชื่อว่าคงไม่มีใครงงแน่นอน เพราะมันก็ตรงตัว ตามที่น้องๆ เคยเรียนกันมาในบทเรขาคณิตวิเคราะห์ เริ่มต้นที่ 0 พอน้องลากไปถึงแกน Y ก็จะได้ 90 องศาเพราะมันตั้งฉากพอดี ต่อไปอีกก็ 180 และ 270 ไปเรื่อยๆ
![ตัวอย่างมุมแบบองศา วงกลมตรีโกณ](/images/content/tri002.png)
แต่แบบ เรเดียน คืออะไร? ก่อนอื่นต้องเข้าใจนิยามก่อน เรเดียน คือค่าตัวเลขที่คำนวณจาก ความยาวส่วนโค้งหารด้วยรัศมี
![ตัวอย่างมุมแบบองศา วงกลมตรีโกณ](/images/content/tri003.png)
ดูรูปข้างบนประกอบนะครับน้องๆ สมมติพี่ต้องการหาค่า \(\theta\) แบบที่เป็นเลขทั่วไป ไม่ใช่หน่วยองศา เนื่องจากมุม \(\theta\) นั่นกวาดความยาวส่วนโค้งไปได้ทั้งหมด \(s\) หน่วย และรัศมีที่เราใช้ในวงกลมนี้คือ \(r\) ดังนั้นจากสมการที่ว่า เรเดียน คือค่าตัวเลขที่คำนวณจาก ความยาวส่วนโค้งหารด้วยรัศมี เราจึงได้ \(\theta=\dfrac{s}{r}\)
ดังนั้นเราจึงต้องหาความสัมพันธ์กันต่อว่า สมมติเรามีมุม \(x\) องศา มันจะเท่ากับกี่เรเดียน? หลักการที่แนะนำคือลองมองมุม \(360^\circ\) ก่อน
![360 องศาเท่ากับ 2*pi เรเดียน](/images/content/tri004.png)
มุม \(360^\circ\) มันก็คือการที่เรากวาดไปทั้งวงกลมเลย ตามเส้นสีแดง แปลว่าระยะทั้งหมดที่กวาดได้ (ความยาวส่วนโค้ง) คือ ความยาวรอบรูปวงกลม ซึ่งมีค่าตามสูตรวงกลมว่า \(2\pi r\) หมายความว่าเราต้องแทน \(s=2\pi r\) และนำไปหารด้วยรัศมีเพื่อที่จะได้ มุมเรเดียน เราจึงได้สมการ \(360^\circ=\dfrac{2\pi r}{r}=2\pi\)
หากเราจับสมการ \(360^\circ=2\pi\) มาตัดทอนลงไปอีกโดยการหารด้วย 2 ทั้งสองข้าง เราจะได้ว่า \(180^\circ=\pi\) ตามที่น้องๆ เข้าใจกันนั่นแหละครับ \(\pi\) ที่มีค่า 3.14159265357989...
\(180^\circ=\pi\) เรเดียน
แถม: บางทีเราก็อาจจะเจอโจทย์เกรียนโดยการให้อีกสองหน่วยมุมย่อย ลิปดา (') กับ ฟิลิปดา ('') เราแค่ต้องรู้ว่า 1 องศาเท่ากับ 60 ลิปดา และ 1 ลิปดาเท่ากับ 60 ฟิลิปดา จากนั้นก็ใช้พวกนี้แปลงหน่วยง่ายๆ
มุมติดลบ กับ มุมเกิน 360 องศา
มุมเกิน 360 องศา (หรือเกิน \(2\pi\) เรเดียน)
พี่ขอเริ่มจาก มุมเกิน \(360^\circ\) และกันครับ หากน้องๆ จำได้หัวข้อข้างบนที่พี่บอกเรื่องกวาดมุมในวงกลมตรีโกณมิติไปนั้น เวลาน้องจะกวาดมุมใน วงกลม 1 หน่วย เนี่ยหากครบ 1 รอบและกลับมาที่เดิมแปลว่าน้องหมุนได้ครบ \(360^\circ\) ถูกมั้ยเอ่ย ดังนั้นไอเดียก็คือ หากเรามีมุมที่เกิน \(360^\circ\) รูปการหมุนมันก็จะกลับมาเหมือนเดิมแบบวนลูปนั่นเอง
![มุมเกิน 360 วงกลมครีโกณ](/images/content/tri005.png)
หากสังเกตตัวอย่างรูปด้านบนดีๆ การกวาดมุมไป \(390^\circ\) มันก็ไม่ต่างอะไรกับกวาดแค่ \(30^\circ\) เลย เพราะพอวนครบวงกลม 1 รอบมันก็กลับมาจุดเริ่มต้น และเราเสียไป 360 จาก 390 ดังนั้นก็หมุนอีก \(30^\circ\)
มุมติดลบ
ปกติที่กวาดมุมจากที่กล่าวมาข้างบนทั้งหมด เราจะกวาดเริ่มจาก แกน X ขึ้นไป หากในทางกลับกันน้องเลือกที่จะกวาดจาก แกน X ลงมา แบบนี้เราจะได้มุมค่าลบแทน
![มุมติดลบ วงกลมครีโกณ](/images/content/tri006.png)
ตามภาพเลยครับ หากเราใช้การกวาดมุม \(330^\circ\) ตามเส้นประสีม่วงแบบปกติ แต่เราวัดแบบมุมติดลบแทน (วัดจากแก X ลงมา) เราจะได้มุมเป็นค่าลบ (รวมถึงความยาวส่วนโค้ง \(s\) ที่เราใช้ในสูตรการหา มุมแบบเรเดียน ด้วย)
ดังนั้น หากพี่ให้โจทย์น้องไปสองคน น้อง A กับน้อง B โดยให้น้อง A กวาดมุม \(-30^\circ\) ส่วนน้อง B กวาดมุม \(330^\circ\) และลากแค่เส้นสีฟ้าที่กวาดได้ส่งพี่ คำตอบของน้องทั้งสองก็จะเหมือนกันนั่นเอง พอเห็นภาพเนอะ
![มุมติดลบ วงกลมครีโกณ](/images/content/tri007.png)
หากบทความพี่เป็นประโยชน์ ฝากแชร์ต่อให้เพื่อนๆ ด้วยนะครับ :')