ระบบจำนวนจริง ม.4

ระบบจำนวนจริง

หากใครยังไม่แม่นเรื่อง จำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ อย่าลืมไปทวนกันก่อนที่ จำนวนจริง ม.2 นะครับ

ในบทนี้พี่จะขอขึ้นเรื่องสมบัติของจำนวนจริงกันเลย บทนี้ถ้าพูดตามตรงก็ไม่ต้องโฟกัสหรือจำมากครับ เพราะจริง ๆ มันเป็นสิ่งที่น้องคุ้นเคย กันมาอยู่แล้ว เพียงแค่เราใช้มันแบบไม่รู้ตัว วันนี้เราก็จะมาพูดให้ละเอียดมากขึ้นว่าที่น้องใช้ ๆ กัน เช่นการแก้สมการ โดยการบวกทั้งสองข้าง ไรประมาณนี้ จริง ๆ มันเป็นทฤษฎีการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ของจำนวนจริง เลยนะ

สมบัติการเท่ากัน

เราจะมี 5 สมบัติหลัก ๆ คือ

1. สะท้อน \(a=a\) 
2. สมมาตร ถ้า \(a=b\) แล้ว \(b=a\) 
3. ถ่ายทอด ถ้า \(a=b\) และ \(b=c\) แล้ว \(a=c\) 
4. บวกด้วยตัวเท่ากัน ถ้า \(a=b\) แล้ว \(a+\textcolor{blue}{c}=b+\textcolor{blue}{c}\) 
5. คูณด้วยตัวเท่ากัน ถ้า \(a=b\) แล้ว \(a\textcolor{blue}{c}=b\textcolor{blue}{c}\) 

สมบัติ 5 ตัวบนเป็นสมบัติที่เราได้ใช้กันตอนแก้สมการกันเป็นส่วนมาก กันมาตั้งแต่มัธยมต้น (หรือประถม) แล้ว แค่เราไม่รู้ตัว พี่อยากให้น้องอ่านทั้ง 5 ข้อข้างบน และคิดตาม ถามตัวเองว่า มันเมคเซ้นส์หรือเปล่า ถ้าเมคเซ้นส์ เราไปต่อกันที่ สมบัติการบวกและการคูณกันเลย

สมบัติการบวกและคูณ

เราจะมี 6 สมบัติหลัก ๆ คือ

1. สมบัติปิด จำนวนจริง บวกกัน (หรือ คูณกัน) ก็ยังได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง
2. สลับที่ \(a+b=b+a\) และ \(ab=ba\) 
3. เปลี่ยนกลุ่ม \((a+b)+c=a+(b+c)\) และ \((ab)c=a(bc)\) 
4. เอกลักษณ์ เอกลักษณ์การบวก คือ 0 และ เอกลักษณ์การคูณ คือ 1
5. อินเวอร์ส (ผกผัน) จำนวนจริง \(a\) มี \(-a\) เป็นผกผันการบวก และ จำนวนจริง \(a\) มี \(\dfrac{1}{a}\) เป็นผกผันการคูณ (\(a\ne0\))
6. แจกแจง \(a(b+c)=ab+ac\)

พี่ขอเน้น แค่ข้อ 1, 4, และ 5 สำหรับพาร์ทนี้ เพราะข้ออื่น น้องต้องรู้กันและใช้เป็นอยู่แล้ว

[1] สำหรับ สมบัติปิด หลักการของมันคือ น้องต้องดูว่าถ้านำจำนวนในเซตใด ๆ มากระทำกัน ไม่ว่าจะจับคู่ไหนมาก็ตาม จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่อยู่ในเซตเดิมเสมอ เช่น "จำนวนคู่มีสมบัติปิดการบวก หรือไม่" คำถามมันคือ จำนวนคู่ (เซต) มาบวก (กระทำกัน) กันจะได้จำนวนคู่ (เซตเดิม) ตลอดหรือเปล่า ซึ่งคำตอบก็คือ จริงครับ

เรื่องสมบัติปิด ถ้าน้อง ๆ สังเกต มันจะมาคู่กับ (1) เซต เช่น จำนวนคู่ จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และ (2) การกระทำ เช่น บวก คูณ ไอเดียมีแค่ว่า ถ้านำเลขในเซตที่ให้สองตัวใด ๆ มากระทำกันด้วยเครื่องหมายที่บอก จะได้ผลลัพธ์อยู่ในเซตเดิมหรือเปล่า

ถ้าอยู่ตลอด ก็แสดงว่า มีสมบัติปิด ในเรื่องการสร้างเครื่องหมายใหม่ หัวข้อท้ายสุด เราจะไปดูลึกขึ้นกันว่า ถ้ามีเครื่องหมายใหม่ นอกจาก บวก ลบ คูณ หาร ที่เราเจอ มันจะเช็คสมบัติปิดยากกว่าเดิมหรือเปล่า

[4] สำหรับ เอกลักษณ์การบวก และ เอกลักษณ์การคูณ นั้นให้น้อง ๆ จำไว้ว่า เอกลักษณ์ ก็คือการกระทำอะไรก็ตาม แล้วได้ตัวมันเอง (ยังคงเป็นเอกลักษณ์ แบบเป็นตัวเอง อะ เก็ทเนอะ) ดังนั้น เอกลักษณ์การบวก ก็คือ ตัวเลขบวกกับอะไรได้ตัวมันเอง ก็ต้องบวก 0 ไง ค่าไม่เปลี่ยน ดังนั้น เอกลักษณ์การบวก คือ 0 ส่วนการคูณก็เหมือนกันครับ ตัวเลขคูณกับอะไรได้ตัวเดิม ก็คูณด้วย 1 ไง ดังนั้น 1 ก็เป็น เอกลักษณ์การคูณ

[5] สำหรับ อินเวอร์สการบวก และ อินเวอร์สการคูณ คือ ตัวเลขอะไรที่กระทำแล้วได้เอกลักษณ์ เช่น ถ้าน้องมี \(a\) เราอยากรู้ว่า อินเวอร์สการบวกของ \(a\) คือใคร ก็ต้องหาว่า เลขอะไรบวกกับ \(a\) แล้วได้เอกลักษณ์การบวก (หรือ เท่ากับ 0) นั่นเอง ได้ว่า \(a+\textcolor{blue}{-a}=0\) ดังนั้น \(-a\) ก็เป็น อินเวอร์สการบวก ของ \(a\)

ส่วน อินเวอร์สการคูณ ก็เช่นเรามี \(a\) เราต้องหาว่าเลขอะไรที่คูณกับ \(a\) แล้วได้ เอกลักษณ์การคูณ (หรือ เท่ากับ 1) นั่นเอง ก็จะได้ว่า \(a\times\textcolor{blue}{\dfrac{1}{a}}=1\) ดังนั้น \(\dfrac{1}{a}\) เป็นอินเวอร์สการคูณของ \(a\)

การสร้างเครื่องหมายใหม่

ในบทนี้เราจะมาดูแนวที่ข้อสอบชอบออกบ่อย ๆ ก็คือ การสร้างเครื่องหมายใหม่ อย่างที่น้องเรียนกันมาในสมบัติของจำนวนจริง หากเรามีเครื่องหมายใหม่ เราก็ต้องนิยามมันขึ้นมาก่อน และลำดับต่อไปก็คือการใช้งานให้เป็น เราไปดูตัวอย่างไปด้วยเลยดีกว่า เพื่อจะได้ไม่งงมาก

นิยาม ให้ \(a\otimes b=\dfrac{a+b}{2}\) จงหาว่า \((4\otimes 2)\otimes 5\) มีค่าเท่าใด

หากน้องสังเกตกันดี ๆ มันก็เหมือนเรามีนิยามเครื่องหมายใหม่ สิ่งที่เราทำก็เหมือนปกติครับ แค่แทนค่าเข้าไป ใน \((4\otimes 2)\otimes 5\) เราจะทำในวงเล็บก่อน นั่นก็คือ \(4\otimes 2\) ซึ่งมีค่าเท่ากับ \(\dfrac{4+2}{2}=3\) (ตามนิยาม คือ ตัวหน้าบวกตัวหลังหารด้วย 2)

ดังนั้น \((4\otimes 2)\otimes 5=\textcolor{blue}{3}\otimes 5\) ซึ่งมีค่าเท่ากับ \(\dfrac{3+5}{2}=4\)

ตัวอย่าง นิยามให้ \(a\bigtriangledown b=a+b-5\) จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าข้อไหนถูกต้องบ้าง

1. \(a\bigtriangledown b=b\bigtriangledown a\)
2. \((a\bigtriangledown b)\bigtriangledown c=a\bigtriangledown (b\bigtriangledown c)\)
3. \(a\bigtriangledown -a=-5\) สำหรับทุก \(a\)
4. \(a(b\bigtriangledown c)=ab\bigtriangledown ac\)

วิธีทำก็จะยากขึ้นมาหน่อย เพราะว่ามันไม่ใช่แค่แทนค่าแล้วก็ตอบได้ แต่ต้องมีการวิเคราะห์เพิ่ม งั้นเรามาดูทีละข้อ

1. \(a\bigtriangledown b=a+b-5\) ส่วน \(b\bigtriangledown a=b+a-5\) สังเกตว่า \(a+b-5=b+a-5\) ดังนั้น ข้อ 1 ถูก
2. ฝั่งซ้าย \((a\bigtriangledown b)\bigtriangledown c=(a+b-5)\bigtriangledown c\) 
   \(=(a+b-5)+c-5\) 
   \(=a+b+c-10\) 
   ฝั่งขวา \(a\bigtriangledown(b\bigtriangledown c)=a\bigtriangledown (b+c-5)\) 
   \(=a+(b+c-5)-5\) 
   \(=a+b+c-10\) 
   สองฝั่งเท่ากัน ดังนั้น ข้อสองก็ถูกต้อง
3. \(a\bigtriangledown -a=a+(-a)-5=-5\) ดังนั้น ถูก
4. ฝั่งซ้าย \(a(b\bigtriangledown c)=a(b+c-5)\) \(=ab+ac-5a\) 
   ฝั่งขวา \(ab\bigtriangledown ac=ab+ac-5\) 
   สังเกตว่า ถึงแม้สองพจน์แรกเหมือนกัน แต่พจน์สุดท้ายไม่เหมือนกัน ดังนั้น ข้อ 4 ผิด