ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ม.4

ประโยคเปิด

ประโยคเปิด คือ ประโยคที่มีตัวแปร เช่น \(x+1\lt 5\) หรือ เขาไม่ได้ชอบเรา ประโยคแรก มี \(x\) เป็นตัวแปร ส่วนอันสองมี เขา เป็นตัวแปรเช่นเดียวกัน

หากน้อง ๆ จำได้ เราเคยคุยกันไปแล้วว่า \(x+1\lt 5\) ไม่ใช่ ประพจน์ เพราะ หาค่าความจริงแน่นอนไม่ได้ หากเราแทน \(x\) เป็น 1 จะได้ \(1+1<5\) ซึ่งเป็นจริง แต่หากแทน \(x\) เป็น 10 จะได้ \(10+1\lt 5\) ซึ่งเป็นเท็จ

ดังนั้น \(x+1\lt 5\) ไม่ใช่ประพจน์ แต่ คือประโยคเปิด นั่นเอง และเมื่อมันมีตัวแปร เราก็สามารถแทนค่าเข้าในตัวแปรได้ เมื่อเราแทนค่าที่ตัวแปร น้อง ๆ จะเห็นว่า เราสามารถหาค่าความจริงได้แล้ว

ฝึกง่าย ๆ โดยการมองให้ออกก่อนว่า ประโยคไหนเป็นประโยคเปิด จงหาว่าประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์ / ประโยคเปิด / หรือ ไม่ใช่ทั้งคู่

ตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิดเราบอกไปแล้วว่าเราจะต้อง มีการแทนค่าตัวแปร เช่น \(x+6\ge 5\) เราจะต้องแทน \(x\) เป็นตัวเลข แล้วถามว่า ขอบเขตเลขที่เราจะแทนคืออะไร (ต้องแทนเลขไหนบ้าง?)

เราจะแทนทั้งหมดที่อยู่ใน เอกภพสัมพัทธ์ ที่โจทย์กำหนดให้ครับน้อง ๆ สมมติ โจทย์บอกว่า

เราก็ต้องทำการแทน \(x\) ทั้งหมด 3 ตัว คือ -1, 0, 1 ตัวอื่น ๆ ที่อยู่นอกเอกภพสัมพัทธ์ ไม่สนใจ เมื่อแทนจะได้ประพจน์ดังนี้

น้อง ๆ จะเห็นว่าทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ เมื่อแทนแล้ว ได้ประพจน์ที่เป็นจริงเสมอ เราเลย จะพูดว่า สำหรับ x ทุกตัว \(x+6\ge 5\) เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\) 

พูดง่าย ๆ ว่า ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ประโยคเปิด \(x+6\ge 5\) เป็นจริงเสมอเลยนะ

บางกรณีเราอาจจะไม่ได้ทุกตัว เช่น สมมติ \(x\ge 0\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\mathbb{R}\) (จำนวนจริง) สังเกตว่า ถ้าเราแทน จำนวนจริงลบเข้าไปใน \(x\) ประพจน์จะไม่เป็นจริง แต่ถ้าแทนจำนวนจริงบวก จะได้ประพจน์ที่เป็นจริง ดังนั้น เราจะบอกว่า มี \(x\) บางตัว ที่ \(x\ge 0\) เมื่อ เอกภพสัมพัทธ์เป็นจำนวนจริง

\(\forall\;\) สำหรับ x ทุกตัว

ตัวอย่างเช่น "สำหรับ \(x\) ทุกตัว \(x+0=x\)" หรือ "สำหรับ \(x\) ทุกตัว \(x+5\ge 6\)"

ถ้าเราใส่ ตัวบ่งปริมาณแบบ \(\forall\) (อ่านว่า for all) ไว้ข้างหน้าประโยคเปิด \(x\) ต้อง เป็นจริงทุกค่า ถึงจะทำให้ประโยคเป็นจริง

"สำหรับ \(x\) ทุกตัว \(x+0=x\)" เขียนเป็นภาษาตรรกศาสตร์ว่า \(\forall x[x+0=x]\) เป็นจริง เพราะ \(x+0=x\) อยู่แล้ว ดังนั้น \(x\) เป็นอะไร สมการก็เป็นจริงตลอด

"สำหรับ \(x\) ทุกตัว \(x+5\ge 6\)" เขียนเป็นภาษาตรรกศาสตร์ว่า \(\forall x[x+5\ge 6]\) เป็นเท็จ เพราะ ไม่ใช่ \(x\) ทุกตัวที่อสมการเป็นจริง เช่น หากเราแทน \(x=-10\) จะได้ว่า \(-10+5=-5\not\ge6\)

\(\exists\;\) สำหรับ x บางตัว

ตัวอย่างเช่น "มี \(x\) บางตัวที่ \(x+1=5\)" หรือ "มี \(x\) บางตัวที่ \(x^2\lt 0\)"

ถ้าเราใส่ ตัวบ่งปริมาณแบบ \(\exists\) (อ่านว่า exists หรือ บางคนก็เรียกว่า for some) ไว้ข้างหน้าประโยคเปิด \(x\) เป็นจริงอย่างน้อย 1 ตัว จะทำให้ประโยคเป็นจริงเลย (จริง ๆ มันก็ตรงตัว ก็ มี \(x\) บางตัวไง ดังนั้น ถ้ามีตัวนึงที่เราแทนแล้วมันเป็นจริง ก็ถือว่าประโยค \(\exists\) เป็นจริง)

"มี \(x\) บางตัวที่ \(x+1=5\)" เขียนได้ว่า \(\exists x[x+1=5]\) เป็นจริง เพราะ ถ้าเราแทน \(x\) เป็น 4 จะได้ว่า \(4+1=5\) เป็นจริง

"มี \(x\) บางตัวที่ \(x^2\lt 0\)" เขียนได้ว่า \(\exists x[x^2\lt 0]\) เป็นเท็จ เพราะ เอกภพสัมพัทธ์คือจำนวนจริง และจำนวนจริงทุกตัวยกกำลังสองต้องเป็นบวก ดังนั้น ไม่มีทาง น้อยกว่า 0 แน่นอน แปลว่า ไม่มี \(x\) สักตัวเลย ดังนั้น \(\exists x[x^2\lt 0]\equiv F\)

เราจึงสรุปได้ตามภาพด้านบน (เรามักเขียนแทนประโยคเปิดด้วย ตัวพิมพ์ใหญ่ที่สามารถใส่ค่าตัวแปร x ได้ เช่น P(x), Q(x) เป็นต้น) พี่อยากให้น้องลองอ่านภาพด้านบน แล้วลองคุยวิเคราะห์กับตัวเองดูว่ามันเมคเซ้นส์หรือเปล่า ถ้าเก็ทแล้วด้วยตัวน้องเอง เดี๋ยวเราไปตะลุยโจทย์กันต่อด้านล่างกันเลย

ตัวอย่างโจทย์

สมมติ กำหนดให้ \(\mathbb{U}=\{-2, -1, 0, 1, 2\}\)

\(\forall x[x^2\le 4]\) เป็นจริง เพราะ ถ้าไล่แทนค่าใน \(\mathbb{U}\) ตั้งแต่ \(-2\) ถึง \(2\) ทั้งหมดยกกำลังสองจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ \(4\) ทั้งหมด

\(\exists x[x^3-1\lt 0]\) เป็นจริง เพราะ หากแทน \(x=-2\) จะได้ \(-7\lt0\) เป็นจริง (\(\exists\) มีแค่ตัวเดียวได้ ก็จริงเลย)

\(\exists x[x-2\gt 1]\) เป็นเท็จ เพราะไม่มีตัวไหนเลยใน \(\mathbb{U}\) ที่ทำให้อสมการเป็นจริง หากน้องลองแทนดู

ลองไปทำโจทย์ด้านล่าง เพื่อความเข้าใจที่มากขึ้นกัน อย่าลืมว่าหากสนใจสามารถดูวิดีโอที่หน้าบนเพจนี้ได้เลยนะครับน้อง ๆ

ด้านบนน้องจะเจอโจทย์ที่เริ่มยากขึ้น พี่ขอแถมให้อีกสองข้อ เพื่อให้น้องเห็นภาพกันมากขึ้น

ประโยคเปิดสองตัวแปร (หลักสูตรเก่า)

เนื่องจากเป็นเรื่องเดียวกัน แต่หลักสูตร 2560 ที่ปรับปรุงโดย สสวท. ได้ทำการตัดส่วนนี้ออกไป ส่วนตัวพี่คิดว่า เค้าคงคิดว่ามันมีความซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้น ไม่ว่าจะโดนตัดหรือไม่โดนตัด พี่ก็จะสอนอยู่ดี 55555+ เพราะพี่ว่ามันไม่ได้ยาก และถ้าอนาคตข้อสอบออก น้องจะได้ไม่งงกัน รูปแบบหน้าตามันจะเป็นประมาณนี้

เห็นก็น่ากลัวแล้วเนอะ แต่จริง ๆ ไอเดียไม่ได้ยากครับน้อง ๆ มันคือประโยคเปิดที่มีสองตัวแปร เช่น \(x+y\gt 0\) ก็มีตัวแปร \(x\) กับ \(y\) เวลาเรามีเอกภพสัมพัทธ์ \(\mathbb{U}\) เราก็เลือกตัวเลขมาแทนในตัวแปร ทั้ง \(x\) และ \(y\) (ไม่ต้องเป็นเลขเดียวกันก็ได้นะ)

\(\forall x\forall y\;\) ทุกคู่ \(x,y\) เป็นจริง

ตัวอย่าง \(\forall x\forall y[x+y\ge 1]\) โดยที่ \(\mathbb{U}=\{0, 1\}\) เราต้องทำทุกกรณี กล่าวง่าย ๆ คือ \(x\) เป็นได้ทั้งหมดใน \(\mathbb{U}\) และ \(y\) ก็เช่นกัน ดังนั้นต้องจับคู่ทั้งหมด

\(x=0, y=0\) เป็นเท็จ เพราะ \(0+0\ge 1\) ไม่จริง
\(x=0, y=1\) เป็นจริง เพราะ \(0+1\ge 1\) จริง
\(x=1, y=0\) เป็นจริง เพราะ \(1+0\ge 1\) จริง
\(x=1, y=1\) เป็นจริง เพราะ \(1+1\ge 1\) จริง

ดังนั้น \(\forall x\forall y[x+y\ge 1]\equiv F\) เพราะว่า ไม่ใช่ทุกคู่เป็นจริง กรณี \(x=0, y=0\) ไม่จริง

\(\exists x\exists y\;\) มี \(x,y\) คู่เดียวพอเป็นจริง

ที่เอา \(\exists\exists\) มาก่อน เพราะ \(\exists\exists\) เป็นอีกตัวที่เข้าใจง่าย คือเราต้องการ x บางตัว y บางตัว มันก็แปลว่า มี \(x, y\) คู่เดียวเป็นจริงก็พอ ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของ \(\exists x\exists y[x+y\gt 2]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\)

เราต้องการหา \(x, y\) คู่เดียวที่บวกกันเกิน 2 แต่ตัวมากสุดในเอกภพสัมพัทธ์คือ \(1\) หากเราอยากได้ผลบวกมาก ๆ เราก็ต้องพยายามให้ ทั้ง \(x\) และ \(y\) มากสุดเท่าที่เป็นไปได้ เราเลยกำหนด \(x=1, y=1\) แต่ปรากฎว่า ยังไม่สามารถทำให้ผลบวกเกิน \(2\) ได้ เพราะ \(1+1=2\not\gt2\)

แปลว่าไม่มี \(x, y\) สักคู่เลยที่ทำให้อสมการเป็นจริง ดังนั้น \(\exists x\exists y[x+y\gt 2]\equiv F\)

\(\forall x\exists y\;\) ทุก \(x\) ต้องมี \(y\) อย่างน้อย 1 ตัวเป็นจริง

ตรงตัวครับน้อง ๆ \(\forall x\exists y\) อ่านว่า for all x for some y ก็คือ ทุก x บาง y แปลว่า เราต้องแทน \(x\) เป็นทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และแต่ละค่า \(x\) ที่แทน จะต้องมีค่า \(y\) อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ประโยคเปิดเป็นจริง

สมมติ เราจะหาค่าความจริงของ \(\forall x\exists y[x\lt y]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\) แปลว่า ทุก \(x\) นะ ก็คือ ทุกเลข \(-1, 0, 1\) เนี่ย มันจะต้องมี \(y\) ตัวนึงที่มากกว่ามัน จากโจทย์ที่ว่า \(x\lt y\) แต่หากน้องสังเกต ถ้าเราให้ \(x=1\) เราไม่มีทางหา \(y\) ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ มีค่ามากกว่า \(x\) ได้แล้ว เพราะ \(1\) มันมากสุดใน \(\mathbb{U}\) แล้วยังไงหล่ะ ดังนั้น \(\forall x\exists y[x\lt y]\equiv F\) เพราะว่า ไม่ใช่ทุก \(x\) ที่หา \(y\) ที่เป็นจริงได้เจอ

เสริม : ถ้าเราเลือก \(x=0\) เราสามารถเลือก \(y=1\) ได้ โดยประโยคจะเป็นจริงและ ดังนั้น \(x=0\) ถือว่าผ่าน เราก็ต้องไปทำ \(x\) ตัวอื่นต่อ อย่าลืมว่าข้อนี้คือ \(\forall x\) ดังนั้น ต้องหา \(y\) ให้เจอสำหรับ ทุก \(x\)

\(\exists x\forall y\;\) มีบาง \(x\) ที่มี \(y\) ทุกตัวเป็นจริง

อันนี้จะกลับด้าน แต่ก็ตามชื่อที่ว่า for some x for all y ก็คือ บาง x ทุก y มันจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ น้องเจอ \(x\) แค่ตัวเดียวนะ ที่มันไม่ว่าจะจับคู่กับ \(y\) ตัวไหนก็เป็นจริงเสมอ ตัวอย่าง สมมติว่าเรามี \(\exists x\forall y[x\le y]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\) ถ้ามองภาษาคน ก็คือ มีไหมนะสักตัว \(x\) ที่ไม่ว่าจะจับใครมาคู่ \(y\) มันก็มากกว่าหรือเท่ากับเสมอ

มีครับ ถ้าเราให้ \(x\) เป็นตัวน้อยสุดใน \(\mathbb{U}\) ไงจริงมั้ยน้อง ๆ ถ้าเราทำแบบนี้ ไม่ว่า \(y\) จะเป็นตัวไหน เราก็สามารถทำให้ \(x\le y\) ได้เสมอ ดังนั้น \(\exists x\forall y[x\le y]\equiv T\)

นิเสธของตัวบ่งปริมาณ

เรื่องสุดท้ายแล้วของ ตรรกศาสตร์ ทั้งบทของ ม.4 เมื่อจบแล้ว อย่าลืมว่าน้อง ๆ สามารถ เข้าไปดูพาร์ทตะลุยโจทย์เพิ่มเติมกันได้ที่หน้าหลัก ตรรกศาสตร์ ม.4 นะครับ เนื้อหาพาร์ทนี้ จะเป็นการนำ นิเสธไปรวมอยู่กับตัวบ่งปริมาณ เช่น \(\mathord{\sim}\forall x[P(x)]\) หรือ \(\mathord{\sim}\forall x\exists y[Q(x,y)]\)

ตามภาพด้านบนเลยครับน้อง ๆ กระจายนิเสธเข้าไปได้ ตัวบ่งกลับ และนิเสธไปอยู่ข้างใน ตัวอย่างเช่น หากเรามี \(\mathord{\sim}\forall x[x\gt 0]\equiv\exists x[x\le 0]\) สังเกตว่า ตัวบ่งกลับ และพอพี่เอานิเสธเข้าไปข้างในจาก \(x\gt0\) เลยกลายเป็น \(x\le0\)